Loop (algebra)

Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

Definizione

Un loop consiste di un insieme non vuoto ${\displaystyle L}$ dotato di un'operazione binaria

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdot \colon L\times L&\to L,\\(a,b)&\mapsto a\cdot b,\end{aligned}}}$

tale che:

1. esiste un elemento ${\displaystyle 1_{L}}$, detto neutro, tale che ${\displaystyle 1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}=a}$ per ogni ${\displaystyle a\in L}$;
2. l'equazione ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ha un'unica soluzione ${\displaystyle x\in L}$;
3. l'equazione ${\displaystyle x\cdot a=b}$ ha un'unica soluzione ${\displaystyle x\in L}$.

Talvolta, per semplicità, si omette il simbolo di operazione scrivendo ${\displaystyle ab}$ invece di ${\displaystyle a\cdot b.}$

Proprietà

• ogni quasigruppo dotato di elemento neutro è un loop ed ogni loop è un left loop;
• ogni elemento del loop ha un unico inverso sinistro e un unico inverso destro;
• un loop associativo è un gruppo.

La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.

Loop, envelope e folder

Dato un loop ${\displaystyle (L,\cdot )}$ definiamo alcune funzioni caratteristiche:

• Le traslazioni sinistre: ${\displaystyle \lambda _{a}(x):=a\cdot x.}$
• Le traslazioni destre: ${\displaystyle \rho _{a}(x):=x\cdot a.}$
• Le deviazioni centrali: ${\displaystyle \tau _{a}(x):=\rho _{a}\lambda _{a}^{-1}(x).}$
• Le deviazioni sinistre: ${\displaystyle \delta _{a,\,b}^{\lambda }(x):=\lambda _{a\cdot \,b}^{-1}\lambda _{a}\lambda _{b}(x).}$
• Le deviazioni destre: ${\displaystyle \delta _{a,\,b}^{\rho }(x):=\rho _{a\cdot \,b}^{-1}\rho _{b}\rho _{a}(x).}$

Tali funzioni ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono:

• il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop;
• il gruppo ${\displaystyle G(L)}$ delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop;
• il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni destre del loop.

Tali gruppi agiscono in modo naturale su ${\displaystyle L}$ come elementi del gruppo simmetrico su ${\displaystyle L}$. In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.

La tripla ${\displaystyle \xi ={\big (}G(L),H(L),\Lambda {\big )}}$ dove ${\displaystyle H(L)}$ è lo stabilizzatore in ${\displaystyle G(L)}$ dell'elemento neutro e ${\displaystyle \Lambda }$ l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.

Viceversa, una tripla ${\displaystyle \xi =(G,H,L)}$ dove ${\displaystyle G}$ è un gruppo, ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo di ${\displaystyle G}$ ed ${\displaystyle L}$ è un trasversale sinistro del quoziente ${\displaystyle G/H^{g}}$ per ogni ${\displaystyle g\in G}$ prende il nome di folder.

Left loop e condizione di Bruck

Famiglie di loop

Loop di Moufang (da Ruth Moufang)

Si tratta di un loop ${\displaystyle (L,\cdot )}$ che soddisfa l'identità ${\displaystyle (ab)(ca)=(a(bc))a}$ per ogni ${\displaystyle a,b,c}$ in ${\displaystyle L}$.

Proprietà

• I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
• La seguente identità

${\displaystyle (ab)(ca)=(a(bc))a}$

è equivalente a ciascuna delle seguenti:

${\displaystyle a(b(ac))=((ab)a)c;}$

${\displaystyle a(b(cb))=((ab)c)b.}$

Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un loop di Moufang.

• Ponendo nelle precedenti identità uno degli elementi uguale all'elemento neutro, si ha

${\displaystyle a(ab)=(aa)b;}$

${\displaystyle (ab)b=a(bb);}$

${\displaystyle a(ba)=(ab)a.}$

Pertanto, tutti i loop di Moufang sono alternativi.

• Moufang ha dimostrato inoltre che il sottoloop generato da uno dei due elementi del loop di Moufang è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i loop di Moufang soddisfano l'associatività della potenza.
• Quando si lavora con i loop di Moufang, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

Loop ottonionico

Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.